Economia matemática

As informações abaixo foram enviadas pelo professor de Economia Matemática, Jorge Araújo, e narram a fascinante história dos desenvolvimentos da matemática no século XX, em especial, a constituição da Economia Matemática como disciplina autônoma e criativa.

O célebre artigo “Zur theorie der Gesellschafttespiele” (Sobre a Teoria dos Jogos de Salão), Mathematische Annalen,100, p. 295-320, de 1928 de von Neuman mostra que num jogo de soma-zero sempre existe pelo menos um ponto de sela em estratégias mistas para os payoffs esperados dos jogadores. Este resultado é o chamado Teorema Minimax ou Princípio Minimax. A demonstração deste teorema pode ser feita de várias maneiras, mas nenhuma é simples. A mais comum pode-se encontrar no artigo do Nash, “Equilibrium Points in n-person Games”, Proc. Nacional Academy of Sciences, 1950, p. 48-49. Em 1953, o matemático Maurice Fréchet reivindicou, num artigo na Econometrica, a criação da teoria dos jogos para o seu compatriota Émile Borel. Von Neumann, no mesmo número da revista, argumentou que para ele, von Neumann, a teoria dos jogos inicia-se com o seu teorema minimax. De fato, é difícil exagerar a importância deste teorema para a teoria econômica no século XX.

Em 1947, num encontro entre George Dantzig e von Neumann, o último percebe a relação entre os problemas de programação linear e o teorema minimax. Posteriormente, em 1950, Kuhn e Tucker generalizam o resultado de Dantzig-Neumann para programação não-linear no famoso Teorema de Kuhn-Tucker, Nonlinear Programming, Proceedings of Second Berkeley on Mathematical and Statistics, p. 481-492, onde mostram que num problema de otimização os pontos ótimos (x∗, λ∗) são selas do lagrangeano.

Os famosos artigos de Émile Borel foram publicados em inglês no mesmo número da Econometrica, Vol. 21, n° 1, jan. 1953. Borel, Émile. The Theory of Play and Integral Equations with Skew Symmetric Kernels, 1921; On Games that Involve Chance and Skill of the Players, 1924; On Systems of Linear Forms of Skew Symmetric Determinants and The General Theory of Play, 1927.

Estes artigos foram traduzidos para o inglês pelo matemático Maurice Fréchet no mesmo número da Econometrica em que mantém a polêmica com Von Neumann.

Fréchet, Maurice. Emile Borel, Initiator of the Theory of Psychological Games and Application, 1953; Commentary on the Three Notes of Emile Borel, 1953

Seguindo este último artigo temos a manifestação de von Neumann, J.. Communication on the Borel Notes, 1953. O artigo considerado inicial da teoria dos jogos é von Neumann, J. Zur Theorie der Gesellschaftsspiele. Mathemastische Annalen, vol. 100.

Sobre a história do húngaro, de origem judia e radicado nos EUA, von Neuman, ver este interessante artigo.